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過去我們可能會認為,教學就是設計一個完美的流程,讓孩子的學習一路順暢,若在過程中學生發生一些錯誤,就會被認為是一個不成功的活動設計,不過晚近則是愈來愈多人認為,從掙扎中獲得成功學習的經驗,從錯誤中最大化學習的價值,才是我們追求教與學理想境地的終極目標。

在這樣的起心動念下,最近常在思考到底甚麼樣的教學模式可以達到我們的理想,讓孩子的數學學習經歷解題意識、任務價值、溝通表徵及反思回饋的歷程,涵養數學的情懷,並習得重要的數學知識與技能,所以我嘗試了5E教學模式!!!

5E教學模式―以生本為主體的數學學習,5E教學模式顧名思義就是投入(engage)、探索(explore)、解釋(explain)、精粹/延伸(elaborate/extend)和評估(evaluate)五個階段所組合而成的教學模式,(1)投入階段在於讓學生產生驚豔、好奇,與過去的經驗連結,並且產生需解決的問題;(2)探索階段在於嘗試不同的方式,進行合作與討論;(3)解釋階段則是在於理解與比較不同的方法策略,並建立起與正式語言和形式方法的連結;(4)精粹/延伸階段則是在將所習得延伸至新的問題或情境;(5)評估階段式則是展現與理解所學為何。

 

資料來源:http://www.wisd.org/users/0001/docs/GVC/5E%20Model.pdf

底下將以國小五年級柱體體積與表面積的學習為例,說明5E教學模式在數學領域的運用。

5E教學模式是一套以生本為思考的教學模式,運用此一模式在數學課堂中成功的實踐,不僅能讓孩子學到應學的數學內容,最重要的是透過此一過程,將有助於學生發展數學能力,並逐步體認到數學的真正本質,儘管學習的過程中也許會歷經一些掙扎與錯誤,但是這些掙扎與錯誤卻是孩子深化進一步學習的契機。

分數學習一直被視為是國小階段數學學習的重頭戲,它是有理數系的基礎,分數學習的良窳與否也會與未來的代數學習有關。前一陣子無意中在網路上看到一個很簡單的分數賓果遊戲(http://www.schooltimesnippets.com/2015/01/fractions-bingo-game.html),它是透過一種遊戲與圖示的方式,從遊戲與建立概念心像的方式協助孩子學習分數基本概念,底下就分享遊戲的方式供大家參考,希望大家玩得開心、學得開心!

一、適用對象:中高年級

二、人數:不限

三、所需材料

  • 賓果賽紙(下載)
  • 骰子2個
  • 彩色筆或蠟筆等

四、使用方式

  • 每人各準備一張賓果賽紙和一隻蠟筆
  • 依序擲骰子,大的數當分母小的數當分子
  • 每個人將擲出的分數表徵畫在賓果賽紙
  • 比賽過程可互相檢查是否圖畫正確
  • 首先連成一條線即為贏家

五、補充說明

  • 分數學習初期2/6就是畫在分割6份中的2份,俟學生學習等值分數或擴約分後,2/6可以被圖畫在分割3份中的1份
  • 圖中Free Space是開放孩子當找不到可以圖畫的格子時可以自行畫出分數表徵的空格

六、備註

  • 小壁虎老師在班上使用的經驗建議將紙張護貝起來,用白板筆或彩色筆,可以重複使用。
  • 小壁虎老師的作法是把玩法直接列在旁邊,小孩自己閱讀規則自己玩。剛剛午休開放小孩去玩。小朋友說,有的分母已經都用完了,又骰到那個數字怎麼辦?另一組說就畫在中間(說明上面有寫),又再骰到的話怎麼辦?這裡就卡住了,所以老師出聲音指示【那就跳過去換人】有一組覺得玩這樣有點簡單,所以他們自己改成玩數字小的當分母、數字大的當分子,假分數還要化成帶分數,例如:四分之七,就是一又四分之三,就畫一個完整的再找另一個畫四分之三。
  • 教到等值分數時,說不定它們會想到1/3也可以畫在2/6~~所以,護貝是有價值的,可以繼續用,期待小孩出現這樣的學習

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思路衝突問題~就是要你想數學的神奇魔力

        拾起過去和孩子們說數學、做數學、學數學的回憶,發現讓我驚豔的是,竟然有一種題目似乎可以打開孩子的數學腦,讓他們面對面地和數學展開最真實的對話,師生以數學為中介對話的過程實在非常有趣,這類型的問題可用於數學學習的"啟蒙發展"、"策略調整"與"困難解決",這篇文想說先把記得的東西做個紀錄,以後可以作為參考。

一、啟蒙發展階段

        當孩子在新學一個知識概念或過程技能,學習需求的引發或與先前學習產生連結是啟蒙發展階段的重點之一,此時我們若能給予一個問題,同時以過去的學習或直觀為基礎,並製造矛盾衝突,讓學生不自主的提升進一步探索的可能,這樣的題目或任務應該就是我們在孩子數學學習啟蒙發展階段所要的學習材料,思路衝突問題就可以搭當這樣的角色。

        在四年級,孩子學習兩步驟問題的併式與四則運算的規則,包含有括號先算、先乘除後加減、由左向右算等,這些規則學生不僅常常搞錯,也好像是外星人給的禮物,完全搞不清楚為什麼要有這些規定,學習這些東西只是為了滿足大人世界的要求和規定,倘若我們在課堂先以如下圖的兩個問題(以圖示表示,文字題的部分就先不寫囉),取代"括號先算"與"先乘除後加減"規則的直接告知,由於孩子僅知道併式,尚未學習前述的兩個運算規則,所以學生可能都會以1+5*3表示兩個問題情境,但是兩個問題情境很明顯的是不同的狀況,且答案也分別是16和18,孩子在這裡就會產生明顯的思路衝突,這個時候打蛇隨棍上,老師和孩子就會有機會討論"為何和如何記錄先算的符號?"和"為何和如何減少括號?"等有價值的問題。

 

        另外,在從認知衝突到再平衡~三角形邊長關係的一門好課一文中,五年級學生在學習三角形兩邊和大於第三邊的課堂中,老師透過幾何扣條的使用,同樣以思路衝突的手法產生問題,進一步來調動學生持續探討該項幾何性質的需求。

二、策略調整階段

        在數學學習的過程中,有部分時候孩子可以解決問題,只是可以在策略上有不同的切入或處理,讓孩子自己看到原來在解題的過程中,只要換個角度不同的數學景象就會印入眼簾。例如下圖一個五年級的數學問題,孩子原本寫出來的算式是24*84-24*70,此時只要教師神來一筆,將問題中"今天賣出70公斤"改為"今天賣出83公斤",學生馬上會回答你昨天比今天多賣24元,孩子此時也就即刻意會到這個問題他用了另外一種方法在解決問題24*(84-83),一個問題竟然可以有兩種不同的切入方法,漸漸的也可以有意義的深入探討乘法對加減法的分配律。

        另外在五年級比較2/7與2/9大小的實際例子,孩子剛開始在使用通分的方法解決問題,但他不想用紙筆,而是在頭腦裏面進行計算,老師這時給了他額外的一個問題"比較2/7與2/100大小",孩子不加思索地回答2/7>2/999,"你不用通分嗎?"這個衝擊讓孩子道出分數概念(孩子適用PIZZA來舉例)在這個問題的意義,並覺知到在分子不變的條件下,分母不同對分數大小的影響。

三、困難解決階段

        在數學學習的過程或補救教學的課堂,我們都會遇到數學學習困難的孩子,作為孩子經師、人師或孩子的家長,我們常會急著將正確的方法教導,但卻剝奪了孩子思索錯誤或困難的機會,思路衝突問題在困難解決階段則是可以扮演撥亂反正的角色,讓孩子從不同問題解題與對比的過程中,瞭解問題所在並進而修正。

        一位四年級的孩子在數學補救的課堂中,在處理兩位數成以一位數乘法問題,出現如下圖的問題,孩子56*6等問題時,未考量位值,僅是做了兩次各位數乘以個位數的乘法,將數字直接擺上,5*6=30, 6*6=36,得到答案是3036,老師這個時候其實可以不用馬上糾正他的錯誤,而是不如下的題組,請學生先做50*6的問題,並問學生每個算式會差多少,基本上孩子都會回答6,再請學生將下列幾個問題算完,如果孩子位值觀念不清楚,則會在51*6和52*6之間產生衝突,因為兩個式子相差6的關係,會與孩子運算出來的結果產生不一。

50*6=(      )

51*6=(      )

52*6=(      )

53*6=(      )

54*6=(      )

55*6=(      )

56*6=(      )

        另外一個思路衝突問題於困難解決階段的應用則是在一場美好"百分百"的數學課協同教學文中,這個場景是五年級百分率與折扣問題的複習,教師同樣是在發現學生困難後,讓學生發現自己的錯誤,並與過去的經驗進行對照,繼而修正自己錯誤的策略。

        "思路衝突問題"在教學的現場有著有著不同的魔力,在課堂的對話情境中只要運用得當,它可以衝撞孩子的思考,具有引發動機、促進討論、澄清觀念、深化學習等功能,可以讓數學課堂的學習更加活化,對於孩子的思考也有不同凡響的幫助,如果你願意試試看,你也將會很快地感受到它的魔力。

盲茫忙了一段時間,好久沒有把一些對於數學教與學的想法寫下來,暑假時間看到一升二年級的孩子開始被要求要背誦九九乘法表,在國小背誦九九乘法表當然是之後數學學習的基礎,對一些學生來說,背誦九九乘法可能是輕而易舉的事情,但對部分孩子而言,九九乘法可以說是惡夢一場,我們也看到一些孩子在還沒學習乘法前就被要求背誦九九乘法表,尤見九九乘法在大家心目中的重要性,所以如何讓孩子在有意義又有趣的條件下,把九九乘法表背起來可以說是非常重要的一件事情,所以想說分享幾個簡單的遊戲供大家可以試試看,讓我們的孩子一起來背好九九乘法表。

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一年級的直式需要用到進位嗎?

無意間看到一張照片,這是一張一年級小孩子習題作答的紀錄與批改,心裡就在想一年級的孩子究竟需不需要在學習直式時使用進位,於是乎就把這個問題「一年級的孩子學習加法直式需要進位嗎?...苦思中」丟到facebook請網路上的好朋友提供意見,也收到一些好朋友的回應,這裡想把大家的回應和自己的一些想法整理一下,作為一個未來可以參考的紀錄~~

一、孩子的認知發展

直式紀錄或直式計算會與孩子的認知發展有關,一年級的孩子基本上是以數數為基礎開始發展加減法的策略,在這個階段多數的孩子可能主要處於以1為計數單位的階段,包含向上數或向下數的策略,向上數在於處理加法,向下數在於處理減法,等到累10策略開始被發展後,學生在任務上開始需要處理累10與累1的問題,這個時候才會有逐步進展到位值意義掌握的機會。

二、學習的發展進程

一年級孩子現階段應把時間花在經驗加減法的多元計數方式,經驗各種數字的拆解及組合,對日後的數感是很好的基礎。若此時將時間花在熟練課本內的表徵方法,只為了事先熟練進退位的方法,是很可惜的。而且一但熟練了此方式,學生再也失去經驗各種計數方式的機會了。因此一年級的直式不是算式只是紀錄,不需位值,更不需成人的「進位」,也就是說不是用來做為算則,所謂進位是要用來計算才有意義,一年級的學生其實運用如點數、加法事實等策略就可完成相關的任務。

孩子具體表現如看到23+9後,就會開始邊折手指頭邊數數,然後快速的在下面寫下32的答案,對他們來說這就只是一個提醒自己從哪裡(23)開始數,然後數多少(9)個1後,結果會是多少(32)的紀錄,這個階段的孩子沒有要學習同時兩個單位的加法,所以不需要在紀錄上註明1,因為這只是記錄,不是算則,孩子不是靠這個直式在計算答案的。

三、教師的專業對話

針對一些數學概念或技能,可能有的老師會希望學生不要學半套,要就一次學好。和教師夥伴討論相關的問題應從孩子的學習著眼,例如學生的學習出現困難了,透過一些提問和夥伴們共同討論,讓大家一起反思做這件事的意義性。從中我們當然可發現,教科書的解讀與學生學習進程的掌握確實是關鍵,例如教科書的表徵方式對老師教學造成多大的影響,備課時這個部分應該列為重點的討論,課本內真的有太多太多可以提供教師夥伴們共同深入討論。

透過這些討論我們發現,除了上述一年級直式的紀錄外,二年級如14*3的問題,剛開始其實也僅是要求學生透過直視紀錄為42,而非進行直式乘法的教學,四年級等值分數的單元,處理的就只是讓孩子透過表徵去發現等值分數,結果擴分、約分和通分都會在四年級的課堂中出現,這些種種的挑戰與思考,都需要透過孩子的認知發展、學習的發展進程及教師的專業對話才能得以圓滿的解決。

究竟是熟練、概念還是解題出了問題?

當孩子的數學學習出現問題時,作為家長或老師的我們就會開始為其問診把脈,在現場最常聽到的就是小孩子因為練習量不足,才會導致把題目做錯,在這樣的歸因下,老師或家長所開出來的處方簽當然就是 " 狂練、猛練、用力練 ",我們當然都同意練習在學習的過程中扮演著重要的角色,但是有時候當我們真的靜下來好好地看看孩子們是怎麼做題目,我們將會更接近孩子,真正了解他們究竟在想些甚麼東西?

下面是五年級數學習作中的應用問題,共分為兩個小題,問題情境為有一件運動外套,成本是1200元,第一小題是老闆加3成作定價,定價是多少元?從底下照片孩子的作法可以發現,孩子對於加成的問題可以化為小數進行計算,並將成本加上利潤作為定價,所以在這裡孩子對於情境問題採用的數學策略的的處理皆得宜,且在計算的操作上也都正確。

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但是,來到第二小題,孩子似乎遇到了困難,習寫的空間呈現空白,習作的問題是按定價打八五折,老闆賺或賠多少元?這裡當然我們先不急著馬上教孩子怎麼算,而是先瞭解孩子是怎麼想這個問題怎麼做這個問題,然後才能予以見招拆招。

從下面的圖片可以發現,孩子策略上主要先將"定價85%",再將得到的結果減定價,在計算上孩子也在156085%出現錯誤,計算過程中會約掉1個0,但是最後忽略還有10分1存在,單單從孩子呈現的書寫過程可以猜測,學生在這裡可能在題目理解上可能還不夠,在解題策略上應用百分率與折扣的概念,採用折扣後的價格減掉定價作為賺或賠多少錢,這個與利潤=售出價格減掉本金有較大的不同,所以看來孩子在這裡應該不是算得不夠的問題,而是需要從多個面向與孩子一同解決這個學習問題。

針對解題策略這個問題,教學上也許不需要一開始就要孩子計算,而是和孩子討論題目有哪些條件?題目是要我們求甚麼?如果要求賺多少或賠多少需要知道甚麼?題目給我們的訊息是否足夠?如果不夠我們該怎麼辦?多一些提問協助學生思考條件與提問之間的關係。當然我們也都瞭解有些學生對情境問題的理解會比較有困難,這個時候教師或家長可以採用分段理解的方式或採用直接情境定錨的方式,讓學生投入情境中當起老闆,並完成如下圖的標籤,這些做法都在協助孩子了解題目,以協助它們採用應使用的策略。

針對孩子如上計算錯誤的問題,應當可以採用診斷教學的方式,另外給定一題15608510問題,瞭解學生在計算上的處理,通常在這裡學生計算出來的結果也會是12560,使其產生認知衝突,之後再與學生討論可能的錯誤所在,有關診斷教學請參考診斷教學的步驟一文。

孩子的學習困難可能源於先備知識不足迷思概念技能不熟練無充分的解題經驗情意動機等問題,作為教師或家長應當充分了解背後的成因,才能對症下藥提供孩子最為適宜的學習機會與可能。

校長公開課沒想到可以這樣

5月26日的中午急急忙忙地吃完午餐,隨即騎著我的鐵灰色三陽125直奔美麗的壯圍國小,為了是13:00在那兒就要開始的校長數學公開課,一路上的紅綠燈成為我充滿期待的催化劑,底下想和大家簡單分享我參與這場校長公開課備觀議的學習與喜悅~~~

壹、備課階段

聽說校長為了這一次的公開課其實共備的好幾次,很可惜自己因為業務工作的關係,僅有機會參與第一次的共同備課,備課的參與成員主要有校長、教務主任、學校教師還有數學領域專/兼任輔導員(還有我啦),由於大家有一個信任的前提(校長經營的讚!),所以大家你一言我一語的,對話就在你我之間流串,當然校長在共備前也做足了功課(就叫自備吧!哈哈!),將他持有的價值、預期要達成的目標以及任務設計都先交代得很清楚,也因為有這樣一個額外的條件,彼此間的討論都相當的聚焦(當然不免也要哈拉一下啦),使得整個討論說真的非常的精采,公開課這件事情好像不只是校長的事情,而是屬於大夥要一起做的功課。

在共備過程中由於幾位夥伴都有QA備課的基礎,分別從教材脈絡的QA、教學方法的QA、學習特徵的QA等三個面向切入,從任務要怎樣設計與安排、教學該怎樣處理、學生的學習可能會怎樣呈現或困難等予以討論與調整,所以最後校長的活動設計就這樣長出來了!!!

貳、觀課階段

一、觀課前的說課(1050526壯圍國小姚宗呈校長公開授課資料.pdf)

對象是壯圍國小四年級一個班級的學生,共有14位學生,這14位學生分成4組(3人,4人,4人,3人)(原本加成全班18人,謝謝超級有數感的幸宜輔導員提醒有誤,已更正囉),這節課主要的目標是使用,底下是學習任務的設計與序列:

 

 

二、觀課ing

由於活動設計的關係,這是一場充滿動手、猜想與驗證的數學課,也因為有為他組命題的活動,儘管剛開始課程的時候,觀課人員無不就定位,但是隨著時間的前進,孩子開始進行一些活動與交換組別,觀課的人員由於需要觀察孩子的表現也就需要跟著移動,而這樣的移動似乎也沒有影響學生學習的興致,大家還是非常聚精會神地投入創作。

(一)外觀人員

底下是提供的外觀人員記錄格式

(二)內觀人員

底下是提供的內觀人員記錄格式

若是從師生與生生之間語言符號的交流內容與狀況,來思考怎樣的紀錄可以符合教師的QA與學生的QA的需要,並且呼應如下圖數學課堂中教師與學生、學生與學生之間的對話。(請參考:觀課~就從孩子怎麼想的開始),也許可以將內觀表格的設計如下:

上述表格的紀錄可以有中立的紀錄與重要價值的評註,以作為後續觀課討論的素材,因此在這裡應求盡可能的詳實紀錄。

參、議課階段

由於議課討論階段也非常的豐富,底下就先用影像來說故事吧,等時間比較雲許再把一些想法寫出來

一、學習材料的脈絡:如觀課前說課的鋪陳

二、任務2

第1組

第2組

第3組

第4組

三、任務3

學生在同樣的學習內容但不同的任務呈現不同的策略

肆、結語

校長的公開課也許可從領導的視野來定義其價值,透過凝聚團隊的過程,協助學校朝學習型的組織邁進。

今兒個早上是何其幸福,和夥伴驅車前往凱旋國小進行一趟學習之旅,可能是因為是自己的夥伴,所以心情上感覺格外的放心,一進到教室三年級的孩子用天真可愛的臉龐迎接著我們的到來,也歡迎我們待會兒的一節課與他們共同學習,謝謝你們!!!

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昨天15:15在學校的一堂國語文公開觀課,這是一個自己不熟習的領域,但卻深深體會到孩子或孩子們怎麼想國語這件事情才是觀課過程中的寶藏~~

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Yu-Jen Lu 這個節次與之前我們備過課的單元內容較為不同,之前都比較偏向是計算意義的部分,這裡就會明顯涉入更多的概念意義,因為是比率所以就會涉及部分量與總量的關係,所以部分量、總量和關係就會是這個節次需要關注的三個要素

Like · Reply · April 7 at 1:52pm

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一些在臉書上的討論

Yu-Jen Lu 整個單元應該在處理小數的乘法,這一節第一頁基本上是屬於複習,但是也有喚醒孩子小數位值的功能,第二頁是在處理0.1、0.01、0.001倍與乘法的關係,往後就持續進到1位純小數、1位帶小數、2位純小數以及2位帶小數的乘法。
另外,第二頁有特別強調記載位值表上,這個可能與要帶入直式算則有關,因為有位值表的幫忙帶入直式算則才會順利

另外,第二頁有特別強調記載位值表上,這個可能與要帶入直式算則有關,因為有位值表的幫忙帶入直式算則才會順利。

Like · Reply · March 29 at 4:57pm · Edited

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小學的孩子在學習三角形的面積總能對底乘以高除以二的公式琅琅上口,但是對於底在哪裡?高在哪裡又常常出現不出我們意料的問題,底下是用GG做的一個展現,希望可以在課堂中幫助孩子探索與理解三角形底與高的關係。

 

 

 

最近常常在思考如何才能在課堂當中可以做好形成性評量

但是評量要發揮功能就是要能夠馬上知道學生的答題狀況並分析結果...

引自http://flipedu.parenting.com.tw/blog-detail.php?id=921

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最近這陣子常和一群老師就孩子數學學習的困難做討論,幾位老師就提到,有些教材版本在引入因數時,透過除法整除來帶進因數的意義,同時並又透過乘法的算是來表示因數的性質,這樣的方式固然能幫助孩子連結因數學習的相關概念,但是對學習弱勢的孩子來說,這個部分在我們共備的TRIP中也有許多的對話與思考,下面就把我們討論的一些想法與大家一起分享~

2015-09-23 14.38.06

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