宜蘭縣教育支援平台 會員登入 會員註冊 我的i教書

不管你是學校或安親班的老師還是爸爸媽媽,我相信我們都有一致的信念,那就要讓孩子學好數學、好學數學,並且讓數學好學,從過去以來我們都知道"講光抄背多分"並非真正能夠解決問題的方法,但究竟在數學教學的過程中,哪些事情是作為教學者的我們所應該要掌握的,才能夠真切地幫助我們把數學教好,下面就是你做為一位優秀的數學老師所不能忽略的這8件事情。

一、掌握該學甚麼和學習脈絡

二、找出能夠促進推理與解題的好問題

三、好好的用表徵來促進數學理解

四、讓你和學生、學生和學生間來場數學對話

五、讓提問發揮評估與促進的功能

六、熟練其實也是必要的

七、學習過程掙扎一下也是蠻好的

八、讓學生的思考浮上檯面

上面的8件事也許是老生常談說不上甚麼新鮮事兒,只不過人家都說魔鬼總是藏在細節裡,每一項都是可以作為我們教師間深度對話優質素材,就以提問這件事來說好了,究竟數學課堂中的有哪些類型的提問?教學前中後適合的提問是甚麼?提問如何適配學生的學習?提問後又該做甚麼事情?等等,這些都是讓我們可以將數學交好的關鍵思考,我想花點時間在之後的發文,一個一個的簡要介紹這些把數學教好你不得不注意的8件事,提供給大家參考,也給自己一次在反思實踐的機會。

十二年國教系列專書:數學素養學習活動設計

出版日期:2018
國小數學領域召集校長的話  [下載]
指導教授的話  [下載]
概念篇
以心智習性作為培養學生數學素養的核心/陸昱任、簡秀純、朱心儀 [下載]
案例篇(一)
【低年級】
一年級/做紀錄/朱心儀等人 [下載]
一年級/幾月幾日/王秋玉 [下載]
一年級/幾月幾日/江慧真 [下載]
【中年級】
三年級/數到 10000/陸昱任、簡秀純、朱心儀 [下載]
三年級/角、正方形與長方形/葉定基、林婉婷  [下載]
四年級/長度/黃佑家 [下載]
【高年級】
五年級/平行四邊形、三角形、梯形面積/林潼亮 [下載]
五年級/比率與百分率/江嘉敏 [下載]
案例篇(二)
三年級/面積/李意如 [下載]
四年級/長度/陸昱任、簡秀純、朱心儀 [下載]
六年級/怎樣解題/何昶毅、黃文彬 [下載]

一堂數學課,與夥伴們共同備出的素養課堂,即便是一個很簡單認識公里單位的活動,孩子們藉由觀察生活中常見的導航,察覺長度單位公里的存在及其與公尺單位之間的關係,個個孩子無不動用各項感知與認知進行學習,謝謝輔導團秀純和心儀幫忙備課的good idea。

S__36544531.jpg

印度seafood教數學功夫_171212_0027.jpg

年級:四年級

地點:宜蘭國小

【準備活動】

甚麼是長度?日常生活當中,我們通常會使用甚麼來測量長度?

關鍵提問:

  • 長度/距離愈長,測量出來的數值會愈大還是愈小?
  • 長度/距離愈短,測量出來的數值會愈大還是愈小?

【發展活動一】

柯南遠從日本來到宜蘭搭救小蘭,在車上導航中輸入目的地後,一直擔心到底還要多遠才會抵達目的地,現在投影螢幕是導航的螢幕,請問在導航螢幕中,柯南可以獲取哪些資訊?

【發展活動二】

柯南一面開車一面看著導航,擔心到底還要多遠才會抵達目的地,可是...柯南在導航螢幕上突然發現一件事他怎想也想不透的事情,小朋友請你注意幫忙看看,到底柯南遇到甚麼問題讓他想不通?...影片播放

關鍵提問:

  • 柯南一路上都非常注意還有多遠才會抵達目的地,到底螢幕上哪件事讓他想不透?
  • 明明距離愈短,測量出來的數值愈小,螢幕上為什麼抵達目的地的距離卻從1變成980?
  • 說說看,1公里和1公尺哪個比較長?

【發展活動三】

1公里和多少公尺一樣長?從學校出發到哪裡大約是1公里?

關鍵提問:

  • 在柯南的影片中,哪一個段落可以讓我們猜到1公里大約是多少公尺?

 

  • 1公里和1000公尺一樣長我們應該怎麼紀錄?
  • 你的猜想可以怎麼驗證?電腦或手機的哪種程式可以幫忙我們驗證我們的結果?
  • 我們的猜想有些落差,我們該怎麼調整?

【綜合活動】

如果柯南的車子在距離目的地1公里的地方拋錨了,他需要用跑步的方式去拯救小蘭,請問他需要跑多久才可以到達目的地?

請你說出充分的理由,讓大家可以相信你的猜想是合理的。


(看看孩子怎樣從導航資訊察覺1公里=1000公尺)

課堂的初始,由於一個疑惑的引動,孩子從現象的觀察開始進入到了淺層學習的階段,他們看到了公里標示的存在,並引發他們看到距離縮短但在某個時間點數值卻變大的矛盾,由於過去經驗(包含生活與公尺)的連結,孩子們逐漸開始進到深層學習,因為知道公里是一種長度的測量單位,而且1 公里應該比1公尺大,所以他們開始觀察導航螢幕長度數值變化的規律性,繼而提出1公里=1000公尺,孩子在學習的過程中,展現其對問題解決的主題性,並從問題解決中奠定1公里等於1000公尺的意義。

(以下紀錄取自國小數學堂:https://www.facebook.com/bettermathteaching/)

二年級量長度

在經歷過藉由感官初步認識長度後,這個單元中,孩子開始嘗試透過不同的個別單位量化長度,與幾位低年級老師的討論中,大家普遍覺得孩子對於個別單位愈大,量值愈小,個別單位愈小,量值遇大的部分不容易瞭解,對於低年級的孩子來說,此種兩量關係的掌握確實不容易。由於在這個單元的目的除了量化與產生單位外,也存有邁向公制單位需要的橋接功能,所以對於個別單位愈大,量值愈小等關係的掌握,可以在具體的情境讓二年級的孩子經驗即可,主要是讓孩子體會到共同單位存在的必要性,繼而為公分單位引出作鋪排。另外在備課的過程中,老師們也提到有幾個部分需要注意,例如,測量時要注意測量物頭尾相接~排直直~被測量物與測量物一端要對齊~剛開始的測量物語被測量不要太小~測量後如果量值非整數的處理等等。

沒有自動替代文字。

 

三年級角度

"角"這個字在生活上的使用比比皆是,例如:羊角、桌角、菱角....等,但這些角可能跟數學上的角有不同,孩子在二年級識周遭物體上的角後,到三年級開始要能認識角,並比較角的大小,簡單的說就是從視覺上的認識到開始要能認識角的一些性質。在與三年級老師們備課後,大家打算從生活上角的舉例開始,之後透過分類活動澄清數學上的角的"長相"與"要素",為了使孩子角的概念更加鞏固,我們隨後即會提供一些正例與負例供孩子討論辯證,希望透過這一節課讓孩子習得正確角的概念。

沒有自動替代文字。

 

四年級四則運算

三年級在學習基本併式與由左向右算之後,四年級則要逐步認識"括號"與"先乘除後加減"的規則 ,一般老師可能會用宣告的方式來處理上述規則的學習 ,但是這一次四年級參與備課的老師則是嘗試不同的方式 ,試圖以同一個問題不同算式的方式帶入括號存在的需求 ,題目是:

"彥廷帶500元到書店,買一本故事書花了245元,買文具花了135元,請問彥廷還剩下多少元?"

上面的問題會有兩種做法,兩種併式後的列式也不同,透過此一狀況引發併式中需要註記哪一個部分先算的需求 ,自然而然地帶入在算式中使用括號的意義,此外,老師在備課過程中也提到使用不同顏色的粉筆 ,代表兩步驟算式與併式的對應 ,協助學生掌握把兩步驟變成一個算式的方法與意義。

沒有自動替代文字。

 

五年級平行四邊形面積

孩子在學習正方形與長方形面積公式之後,五年級則要逐步認識平行四邊形、三角形與梯形等公式 ,在學習的過程中,孩子通常會遭遇的難點有二:

(1)一個是湊成長方形、底高與長寬的對應

(2)另一個則是求平行四邊形找出高在哪裡

為了解決上述提到的學習難點,老師們有幾個設計特點:

(1)發給平行四邊形由學生自行透過各種方法組成長方形,並討論哪一種方法最簡單

(2)在裁減前即用不同顏色的色筆分別標記上下兩邊與左右兩邊

(3)讓學生討論平行四邊形與長方形的面積一不一樣?如果不裁減的話,你要知道甚麼條件可以算出長方形的面積?

這樣透過表徵、手動、眼動與心動的過程,協助孩子逐步形成平行四邊形的面積公式

沒有自動替代文字。

 

六年級比與比值

比與比值是分數意義的延伸,概念上同時涉及不變與共變的觀念,許多教材在導入的過程通常採用直接透過例子來定義,在共同備課的過程中,夥伴們有討論到一般教材主要從比開始切進來,這樣是相當有系統的處理方式,但是對於比與比值出現的價值並未能有所體會,因此是否可以透過表格紀錄的方式引出比的需要性,再透過大數字的比來引出用比值比較的需求。

沒有自動替代文字。

沒有自動替代文字。

 

 

兩堂數學課的比較~談問題導引技術

        隨著知識半衰期的不斷提前,未來社會需要的人才不僅是「解」題者,更要是好的「問」題者,這個世界正在經歷課堂學習主權轉移的改革,我們不僅要將「解題權」還給孩子,也要將「問題權」試著交還給學生。上述的改變代表著另一種學習模式需要被萌芽與發生,所以過去幾次的公開課,我們試著將「問題意識」這件事情試圖嵌入孩子的小腦袋瓜中,將問題導引技術整合5E教學模式,希望能將問題權還給孩子,讓孩子能問出真正的好問題!!!底下將分別以兩堂活動的概述、綜合比較兩個部分,針對四、五年級的兩堂數學課,以5E教學模式的投入(engage)階段為主體,討論在這個階段中使用問題導引技術所面對的問題以及需要思考的面向。

一、兩堂活動的概述

        底下將分別針對四年級等值分數與五年級比率兩節,5E教學模式融入問題導引技術的課堂予以概略性的說明。

(一)第一堂課:四年級等值分數

        國小四年級的孩子會開始接觸到等值分數,這個階段的學習是未來五年級學習擴分與約分的基礎。在四年級時,學生主要透過圖像表徵的比較,覺察代表同一個量值的分數,可以有不同的表示方式。在四年級等值分數的第一節課中,老師藉由呈現一個如下圖的情境,讓每一個孩子將自己覺得好奇的問題,寫在一張A5的紙張上,再和小組的夥伴討論,將小組認為最值得被探討的三個問題寫在白板上,提出來供全班討論參考。

        學生在這裡出現的問題主要有兩種,其一是「為什麼明明吃了3/6塊,但是卻寫成是吃了1/2塊?」; 其二是「1/2塊也可以用其他方式來表示嗎?」由於前者問題相較於後者來說較屬於基本的問題,因此全班就以前者作為首先討論的問題,學生最後都從兩量相等的角度,同意1/2=3/6。

        就課堂原本規劃,下一步預定要和孩子討論「1/2塊也可以用其他方式來表示嗎?」的問題,提供相關的學習單讓各組的孩子進行探討,不過在完成第一個問題的探討後,馬上就有孩子提到「1/2塊也會等於2/4塊嗎?」這突如其來的意外,使得課程在這裡做了一個小轉折,為了提供孩子有進一步說理的機會,在這裡老師就順著學生的問題,將課堂任務轉為請各組討論並寫出同意或反對的理由。

        討論後,各組即推派代表上台說明其主張和理由,每一組基本上都會採用畫圖的方式,部分小組還會加以相同量值的文字說明論證1/2=2/4,最後再經由同儕互評的方式,決定哪一組的論述是大家覺得最清楚與最合理,第五組最後雀屏中選成為最佳的代表。

(二)第二堂課:五年級比率

        五年級比率的課堂是過去分數學習的延伸,這個階段只處理部分量與全部量的關係,並且「已知部分量、全體量求比率」以及「已知全部量、比率求部分量」。由於這次的教學班級是體育班(棒球隊+拔河隊),所以在情境的安排上就選擇棒球打擊作為問題發想的範圍,同樣的老師藉由呈現一個下圖的情境,讓每一個孩子將自己覺得好奇的問題,寫在一張A5的紙張上,再和小組的夥伴討論,將小組認為最值得被探討的三個問題寫在白板上,提出來供全班討論參考。

        學生在提出的問題中,有些屬於數學問題,有些則不屬於數學問題。問題上主要有兩類,其一是甚麼是打數,這類型主要是屬於定義上的問題。其二是涉及打數與安打數之間的關係,而學生主要提出的較偏向於兩者之間加法關係的問題。在此時學生對於哪個選手比較優有兩種看法,一種是以生活經驗決定,認為峰哥是台灣之光,所以峰哥最好,另一種則是以安打數作為決定的依據,認為阿全的的打擊較佳。

        由於學生對於於阿全的安打最多,但安打數與打數之間又相差最多有所疑慮,學生又無法適時提出方法來解決,因此教師在此刻意提出第四名的打擊者大師兄,並在白板上寫上,大師兄的安打數是20,打數是20,如果教練團要選代打選誰比較好?此時,有些學生開始猶疑,部分學生就馬上說大師兄比較好,老師則接續搭著說可是阿全的安打數比較多唷,學生則馬上回應之所以選大師兄,因為他打數20,又擊出20支安打,全部都安打很厲害!!!

        下一步教師調後再提出,若大師兄安打數僅剩18支,在兩人出局滿壘的狀況下,教練團應該選誰作為代打的選手? 此時所有的孩子沒有辦法就所見的資訊,即刻做出正確的決定,因此老師就將這個任務讓各小組進行討論,經過討論後大家都同意大師兄是較佳的選擇,但是同樣的答案卻有兩種觀點。第一種是當大師兄打數到100時,他的安打可能就到達九十幾隻;第二種是當大師兄打數到100時,因為打數20要變成100要乘以5,所以安打數18也要乘以5,185=90。從兩者的說明大致上可以發現,前者仍傾向以加法的關係來處理問題,後者則是以比的角度來支持自己的觀點。

二、綜合比較

(一)焦點情境設計的考量

  1. 究竟呈現怎樣的情境,得以引出學生提出適當的問題,這確實是一個很難得出確切答案的題目,但是老師在設計時主要可以有兩個考量,其一是貼近學生的經驗,這裡的經驗包含生活經驗與過去的數學學習經驗,例如四年的課堂採用的是學生過去學習分數的經驗,五年級的課堂則是試圖透過棒球情境引發學生的動機。其二是對焦教學的目標,這個條件其實是充滿挑戰與想像,因為我們無法預知,我們所設計的情境足夠適當,可以引發學生提出對應教學目標的問題,在四年級的課堂中,其實教師試圖以圖示與數字表徵分數上不同,呈現顯性的衝突,讓學生自己提出該節課欲探討的等值分數問題。

  2. 透過兩節課的比較可以發現,較為簡化的焦點情境,對於學生起初學習提出問題較為有利,透過討論再逐步地挖深加廣,例如在四年級的課堂所提出的焦點情境,學生很快就能提出所欲探討的問題,並且對齊教學目標。

  3. 盡量避免情境中有一些名詞是學生無法理解的,例如在五年級的焦點情境中,部分學生由於並不是棒球隊,因此沒有辦法了解甚麼是打數的意思,因此在焦點情境的設計上,使用的語詞或術語並需是孩子能理解的,除非教師是有意圖的希望孩子探討該語詞的意義。

(二)學生提出問題的類型

  1. 在這兩堂課中,其實可以從學生提出的問題,看出學生關注的重點與發展的層次,例如四年級學生所提出的兩個問題–「為什麼明明吃了3/6塊,但是卻寫成是吃了1/2塊?」、「1/2塊也可以用其他方式來表示嗎?」明顯可以看出,前者問題主要著眼於1/2與3/6是否等值,但後者則是開始關注某個分數等價集的開端。
  2. 有時候學生會提出一些問題,這裡老師麻煩的就是那些問題要處理,又或是問題處理的順序違和的問題,初期老師可以代學生來決定,肆學生較為熟悉學習的模式後,可以讓學生進行問題的分類,可以依照的判準有數學vs.非數學、封閉式vs.開放式、可立即處理vs.需進行探究...等。

(三)教學過程轉折的處理

  1. 我們都知道幼兒到低年級階段的孩子常喜歡問問題,但不知道從甚麼時候開始,他們問問題的動機和權力就在不知不覺中被沒收了,所以孩子在第一次接觸問題導引技術要自己提出問題時,教師要能給予等待與欣賞,因為是剛開始的嘗試,所以很有可能敢提出的問題也不會很多,而這樣的狀況同時出現在上述四年級與五年級的課堂。
  2. 在這個教學模式中,由於同時將部分的問題權與解題權交還給學生,所以在課堂中常會出現一些非常規性的"意外",例如在四年級的課堂中,學生在證明1/2=3/6後,馬上提出那1/2和2/4是否會相等的問題,教師則必須馬上決定是否要處理該問題的決定。在五年級的課堂中,教師則是需要面對由於打者過多,且數字較為複雜的情況下,教師必須馬上依學生的條件,即時調整情境的複雜度,讓學生得以持續學習。

        「問題會驅動熱情,答案則會停止思考」,5E教學模式融入問題導引技術確實出不讓我們看到學生投入數學學習的熱情與渴望,這樣模式的融合也充分的讓孩子拾回解題權與問題權,並且在「生疑」、「質疑」、「釋疑」的過程中當自己的主人,由於學習的過程中除了內容外,,能力也是此以教學模式重視的一環,因此過程中教師也要能看到孩子能力的展現,所以形成性評量(看出端倪、問題解釋、採取行動)的使用在此一模式中頗具重要性。除此以外,從這些客的操作我們也發現,一個友善的諍友可以共同參與,並且在議課的,不僅能幫助我們教師的成長,對於學生後續的學習也有莫大的幫助,底下就附上兩場觀課的議課反思供大家參考~

觀課與議課反思參考:

一場特別的觀課紀錄~四年級等值分數

一場特別的觀課紀錄~五年級比率

因為自己覺得蠻精彩的,又學習很多,所以就把它紀錄下來

孩子學習數學時常常都變成lady卡卡,所以在我們這一場的數學教學研究會社群,古亭的可愛老師們嘗試從突破孩子學習僵局的角度切進來,共同思索解決的方法

日期:2017年3月22日(星期三)

地點:古亭國小教師會議室

成員:一群認真又可愛的老師

一、學生在這裡學習時常見的困難是甚麼?

(一)周長與面積常常混淆

到底造成毀滅性的混淆有哪些?

 

(二)已知周長與一邊長等條件,求另一邊長或面積問題不會

例如有一個題目是正方形的周長20公分,請問這個正方形的面積是多少?學生會寫成202=10,1010=100

因為今天討論時間有限,所以我們就先處理第一個困難問題吧!!!

二、為孩子的學習"自問"

有了上面的困難問題的開端,大家不禁開始好奇的問...

  • 難道是之前相關的基本觀念沒有學好? (所以在這裡大家就開始你一句我一句地說著三年級學過甚麼,未來又會學些甚麼,又到底應該怎樣引入周長與面積會比較好)
  • 是不是分別把周長和面積教好,學生就不會混淆?
  • 是不是應該把周長和面積合在一起教,學生才能好好的區辨? (上面兩者的處理方式好像會有衝突,不知道怎樣做比較好)
  • 是不是有多一些的正例反例提供學生討論,學生就會學得好一些?
  • 為什麼學生對周長與面積的理解只有公式!?公式!?公式!? (那公式又該如何帶入比較好)
  • 到底哪些問題值得來深化孩子對周長與面積的思考? (甚麼問題才會是好問題呢)

三、我們就從周長開始討論看看吧

在這個單元第一個活動就是周長,課本中是先處理長方形再處理正方形的周長公式,大夥兒就在想從正方形開始和從長方形開始對孩子的學習會不會有甚麼不同?感覺好像應該是從正方形開始應該會比較簡單,但為什麼課本又會從長方形開始教周長公式?課本的思考到底會是甚麼?有夥伴就提到,課本這樣的設計會不會是因為長方形周長公式可以被用在正方形周長的求解,當然這是一種可能的思考與處理方式,不過這裡我希望孩子在周長面積公式生成的過程中,能夠多一些問題意識﹑論證討論與延伸回顧,所以在這裡我們嘗試先從正方形的周長公式開始處理,再進到長方形的周長公式,最後再讓孩子有深一層的對話與數學思考,主要的任務與問話如下規劃:

四、那面積又該如何處理比較好

孩子在學過周長後,緊接著就是面積公式的處理,在這裡面積是一個平面,涉及的是二維量的處理,學生常常會在學過面積後,在類似表徵的條件下,學生常常會混淆兩種意義的使用,所以在這兒,我們除了同樣嘗試經歷問題意識﹑論證討論與延伸回顧,協助孩子將周長與面積同時學好。

五、孩子如何學習是老師成長的養分

從孩子的學習出發的共備,讓備課更加有生命力,老師們對於孩子的學習總能侃侃而談,也因為這樣,我們之間的對話愈形熱絡愈形深入,夥伴們也將彼此的智慧記錄在教學手冊或各自的筆記當中,經驗連結、問題引發、解題論理與深化延伸逐步成為數學教學過程中有意義的運作,這不就是我們所想要的專業成長活動嗎!!!

一場以面積周長學習困難為核心

扣合教學目標的備課

一場以四年級孩子學習為核心

扣合其它年段的備課

前一陣子有幸參加一場為全縣國中小學校長所辦理的專業增能動態工作坊,研習的講師是即將於2月1日接任宜蘭縣教育處的簡菲莉處長,簡處長利用正向心理學與ORID焦點座談的方式,與夥伴分享引領組織與教師正向成長的方式,儘管參加一次的活動在短時間能學有限,但在參與過程自己深受感動,所以在2017寒假的一次學校數學共同備課工作坊,試著嘗試將自己對於專業增能動態工作坊的理解與轉化,融入數學共同備課的過程中。

一、數學教學高峰經驗的分享

每一位老師在自己的課堂中都有自己覺得特別滿意的課堂,在這個課堂中老師會有相當的成就感、會有沉浸在此一經驗的滿足感,經由倆倆互相作為聆聽者與分享者,活動中老師從自己的記憶中喚起正向的數學教學經驗,並獲得相互的支持鼓勵,過程中也可以逐步帶出老師自己對於數學教學的意義與價值

二、是甚麼原因讓你有這樣的經驗?

課堂中的高峰經驗不會憑空到來,一定是老師做了哪些事情或注意那些事情,在這個活動老師們經過後設認知的反思,針對自己數學教學的高峰經驗,抽出一些珍貴無價的關鍵要素,經過共同的分享與討論,將這些要素分門別類的處理,從這一段的討論有幾個重點歸納是大家覺得對於數學教學與學習是重要的關鍵。

1.目標掌握與布題

2.數學認知的掌握

3.鷹架表徵

4.班級經營與學習專注

5.學習興趣

三、甚麼是你的priority?

經過群體討論提出了相當多成功數學教學的關鍵要素,不過作為剛開始的嘗試,我們不可能一次就把所有的事情都做到位,而是應該有重要性的排序,所以在這個階段每一位老師就必須為自己選定一個未來試圖想要投入或改變的項目。

四、下一步該怎麼做?

選定屬於自己的核心,大夥兒就開始擬定屬於自己的計畫,從立足點運作願景矛盾/衝突策略/行動,逐步構思出屬於自己的實踐計畫,「提升學習意願」與「提供成功經驗」是這群老師的焦點,提供學生「正向鼓勵」、「表現機會」與「實踐活動」是課堂中的重要成分,除此之外,可以與同儕進行教學或參加專業成長活動都是其間的策略。

過去一年和老師們數學共備不下數十次,絕大多數就是直接進入主題,針對教材、教學與學習進行討論與備課,要不就是針對一些常見的教學撇步進行分享,這樣的方式確實是簡捷也受歡迎。這一次的共備是第一次藉由專業增能動態工作坊的方式來進行,大夥大約足足花了4個小時的發散、聚斂與反思活動,儘管過程非常的耗費心力與體力,不過因為有走過,讓夥伴們更加確定備課的方向與重點,這也呼應共備首部曲~喚醒我們的價值與方向!一文的重點,只是處理的方法與策略不同。

思路衝突問題~就是要你想數學的神奇魔力

        拾起過去和孩子們說數學、做數學、學數學的回憶,發現讓我驚豔的是,竟然有一種題目似乎可以打開孩子的數學腦,讓他們面對面地和數學展開最真實的對話,師生以數學為中介對話的過程實在非常有趣,這類型的問題可用於數學學習的"啟蒙發展"、"策略調整"與"困難解決",這篇文想說先把記得的東西做個紀錄,以後可以作為參考。

一、啟蒙發展階段

        當孩子在新學一個知識概念或過程技能,學習需求的引發或與先前學習產生連結是啟蒙發展階段的重點之一,此時我們若能給予一個問題,同時以過去的學習或直觀為基礎,並製造矛盾衝突,讓學生不自主的提升進一步探索的可能,這樣的題目或任務應該就是我們在孩子數學學習啟蒙發展階段所要的學習材料,思路衝突問題就可以搭當這樣的角色。

        在四年級,孩子學習兩步驟問題的併式與四則運算的規則,包含有括號先算、先乘除後加減、由左向右算等,這些規則學生不僅常常搞錯,也好像是外星人給的禮物,完全搞不清楚為什麼要有這些規定,學習這些東西只是為了滿足大人世界的要求和規定,倘若我們在課堂先以如下圖的兩個問題(以圖示表示,文字題的部分就先不寫囉),取代"括號先算"與"先乘除後加減"規則的直接告知,由於孩子僅知道併式,尚未學習前述的兩個運算規則,所以學生可能都會以1+5*3表示兩個問題情境,但是兩個問題情境很明顯的是不同的狀況,且答案也分別是16和18,孩子在這裡就會產生明顯的思路衝突,這個時候打蛇隨棍上,老師和孩子就會有機會討論"為何和如何記錄先算的符號?"和"為何和如何減少括號?"等有價值的問題。

 

        另外,在從認知衝突到再平衡~三角形邊長關係的一門好課一文中,五年級學生在學習三角形兩邊和大於第三邊的課堂中,老師透過幾何扣條的使用,同樣以思路衝突的手法產生問題,進一步來調動學生持續探討該項幾何性質的需求。

二、策略調整階段

        在數學學習的過程中,有部分時候孩子可以解決問題,只是可以在策略上有不同的切入或處理,讓孩子自己看到原來在解題的過程中,只要換個角度不同的數學景象就會印入眼簾。例如下圖一個五年級的數學問題,孩子原本寫出來的算式是24*84-24*70,此時只要教師神來一筆,將問題中"今天賣出70公斤"改為"今天賣出83公斤",學生馬上會回答你昨天比今天多賣24元,孩子此時也就即刻意會到這個問題他用了另外一種方法在解決問題24*(84-83),一個問題竟然可以有兩種不同的切入方法,漸漸的也可以有意義的深入探討乘法對加減法的分配律。

        另外在五年級比較2/7與2/9大小的實際例子,孩子剛開始在使用通分的方法解決問題,但他不想用紙筆,而是在頭腦裏面進行計算,老師這時給了他額外的一個問題"比較2/7與2/100大小",孩子不加思索地回答2/7>2/999,"你不用通分嗎?"這個衝擊讓孩子道出分數概念(孩子適用PIZZA來舉例)在這個問題的意義,並覺知到在分子不變的條件下,分母不同對分數大小的影響。

三、困難解決階段

        在數學學習的過程或補救教學的課堂,我們都會遇到數學學習困難的孩子,作為孩子經師、人師或孩子的家長,我們常會急著將正確的方法教導,但卻剝奪了孩子思索錯誤或困難的機會,思路衝突問題在困難解決階段則是可以扮演撥亂反正的角色,讓孩子從不同問題解題與對比的過程中,瞭解問題所在並進而修正。

        一位四年級的孩子在數學補救的課堂中,在處理兩位數成以一位數乘法問題,出現如下圖的問題,孩子56*6等問題時,未考量位值,僅是做了兩次各位數乘以個位數的乘法,將數字直接擺上,5*6=30, 6*6=36,得到答案是3036,老師這個時候其實可以不用馬上糾正他的錯誤,而是不如下的題組,請學生先做50*6的問題,並問學生每個算式會差多少,基本上孩子都會回答6,再請學生將下列幾個問題算完,如果孩子位值觀念不清楚,則會在51*6和52*6之間產生衝突,因為兩個式子相差6的關係,會與孩子運算出來的結果產生不一。

50*6=(      )

51*6=(      )

52*6=(      )

53*6=(      )

54*6=(      )

55*6=(      )

56*6=(      )

        另外一個思路衝突問題於困難解決階段的應用則是在一場美好"百分百"的數學課協同教學文中,這個場景是五年級百分率與折扣問題的複習,教師同樣是在發現學生困難後,讓學生發現自己的錯誤,並與過去的經驗進行對照,繼而修正自己錯誤的策略。

        "思路衝突問題"在教學的現場有著有著不同的魔力,在課堂的對話情境中只要運用得當,它可以衝撞孩子的思考,具有引發動機、促進討論、澄清觀念、深化學習等功能,可以讓數學課堂的學習更加活化,對於孩子的思考也有不同凡響的幫助,如果你願意試試看,你也將會很快地感受到它的魔力。

一個沒有簡報的講師,一份共同產出的簡報,在永樂

 (閱讀全文)

昨天到大洲國小和大洲的夥伴們一起進行數學QA模式的備課,我依照了學校接下來會教學的單元,選定了四年級"一位小數乘整數"和五年級"整數乘小數"兩節課的內容來進行備課活動,再操作完四年級QA的對比後,透過大洲夥伴們的回饋與反思,我們發現了:

 (閱讀全文)

今天到成功國小和學校的夥伴們一起討論數學期中評量的設計,這次的工作坊是校內的老師分享過去夥伴們做過的成果與反思,其中有幾個我所學到的內容和大家一起分享~~

(一)雙向細目表的設計可以考量學習內容(如最大公因數與最小公倍數)、認知過程(布魯姆的記憶、理解等)、數學能力(概念理解、程序知識、問題解決)、認知(求知、應用、推理)、題型(選擇題、填充題、應用題)等,至於要選擇那些作為雙向細目表的要素得看究竟甚麼對於班上孩子數學學習是影響較大、較為重要。

 (閱讀全文)

今天和幾位好夥伴討論四、五年級同樣都在學習小數乘法,究竟之間的差異在哪裡?我們又該如何幫他們學習?在內容上四年級主要處理的是小數*整數,而五年級則是進階到整數*小數與小數*小數的問題,在概念引入的部分,四年級還是借用乘法是連加的基本概念來做為啟蒙的處理(儘管乘法的意義往後不僅如此),所以在瞭解上會比較容易,例如:0.5*3=( ),可以透過0.5+0.5+0.5的方式來處理,繼而在連結整數的乘法,使直式算則得以引入。

但是到五年級就不一樣了,整數*小數在教材的安排上是透過與乘以1/10、*1/100和1/1000等的連結,經由整數*分數導引入整數*小數,所以在這裡教學時就必須注意處理整數乘以1/10、1/100等以及整數乘以0.1、0.001等意義的連結與掌握,這樣才會有助於概念的理解,並在學習直式乘法時可以充分知道小數點退位的意義。

當然教材的安排呈現是一種處理的脈絡與模式,課程的安排也有其他的進程可循,例如小數乘法也可以透過樣式規律的探求來處理,由於這樣的處理需要更動的是整個單元甚或跨單元之間的解構,就不在這邊說囉...

2015-09-23 14.03.50.jpg

9月23日(星期三)的下午我和公正國小的嘉敏分別來自不同的兩個車站上車,搭乘著同一班莒光號前往同樣一個夢想的地方~南澳鄉...如同以往,車廂中的兩個人開始為今天南澳鄉全鄉的共備PARTY進行沙盤推演,與上次在大同鄉的設計規劃有些不一樣(參考共備首部曲~喚醒我們的價值與方向!一文),今天我們將從最接近老師的教學身邊物開始,進行一趟既深入又有趣的數學共備之旅。

 (閱讀全文)

一、"始"記

備課!作為老師的我們無時無刻不在做,上課前在備、上課中在備、上課後還是在備,不同的只是大範圍與小尺度上的差異,不同的只是計畫與動態上不同,共同的就是為了我們班上的每一個孩子都能夠"學好"與"好學",但是到底怎麼備?備甚麼?當然也就成為我們共同思索的問題。9月9日的星期三下午,我們在大同國小和所有大同鄉的老師們針對數學共備這件事情有了初次的邂逅,為了這次的共備在我們心裡面確實是一項挑戰,為了這次的活動幾乎是從8月中就開始思考與討論究竟怎樣的形式與內容可以做為六個年級共同備課的首部曲,我們決定從關鍵四問題(A)我想怎樣;(B)他怎樣;(C)落差在哪裡;(D)如何拉近,以及尺度範圍(A)整體(B)單元(C)單堂的交錯作為結構,並擬定一些可以被討論的問題,希望在第一次的活動能夠整個帶出共備的面貌。

q1.jpg

 (閱讀全文)